• 《孙子算经》题目

  在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
  ①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
  解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23……
  它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11……
  除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29……
  它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9……
  一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数。很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，……，无穷无尽。事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件。《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案。
  ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
  解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26……
  再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28……
  这两列数中，首先出现的公共数是8。3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8，23，38，……，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30……
  就得出符合题目条件的最小数是23。
  事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23。
  

  河南省鹤壁市淇县云梦山鬼谷子

  中国有一本数学古书《孙子算经》也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
  术曰：“三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。
  五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。
  七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。
  三乘五乘七，又得一百零五。
  则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”

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